lecture1.tex

\section{První přednáška}
Matematika se historicky rodila jako celá řada disciplín, například jak tady máme jednu
z nich, lineární algebra, nebo matematická analýza, teorie čísel a řada dalších...

Byly to takové historicky izolované disciplíny, v podobné situaci je dnes fyzika, ta
má dnes také různé disciplíny a nedaří se je fyzikům spojit, i když se o to už
dlouho pokoušejí a hledají tzv. teorii všeho. V matematice nějaká taková teorie všeho již
byla nalezena a máme tu výhodu, že se podařilo najít ten \uv{spojovací materiál},
kterým je logika a teorie množin.

Díky tomu se matematiku podařilo dostat na společný jazyk, takže ať už studujete
teorii pra\-vdě\-po\-dob\-no\-sti, nebo matematickou analýzu, tak se začne s nějakou
definicí, co je jakási množina a tak dále...

\subsection{Logika}
V logice je základním pojmem výrok, neboli tvrzení, o kterém můžeme říct, zda je pravdivé,
nebo nepravdivé. Tedy přiřazujeme mu pravdivostní hodnotu, nulu, nebo jedničku. Výroky následně
rozlišujeme na jednoduché (atomární), které nejdou dále rozložit a na výroky složité, které
jsou pospojovány logickými spojkami. Nejznámější logické spojky jsou tyto: $\wedge$, $\vee$,
$\rightarrow$, $\leftrightarrow$. Zdaleka se však nejedná o jejich vyčerpávajícíc výčet.
Uvědomme si, že existuje $2^4$ různých logických spojek (binárních).

Další nad čím je vhodné se z těchto základů pozastavit je pojem výroku. Ne všechno v běžné řeči
je výrok. Je nutné si uvědomit, co výrok je a co není. A i když něco výrokem je, tak to
ještě nezmanená, že jsme schopni určit pravdivostní hodnotu tohoto výroku. Například tvrzení:
\textit{Na Saturnově měsíci je voda}, určitě se jedná o výrok, ale jeho pravdivostní hodnotu neznáme.
Výrokem ale určitě nejsou různá zvolání, výkřiky, otázky...

Je každá dobře utvořená oznamovací věta výrokem? Není, například věta \textit{Colorless green ideas
sleep furiously.} je z mluvnického hlediska utvořena správně a jedná se o oznamovací větu, ale
významově je to takový nesmysl, že nelze určit, zda se jedná o výrok, protože tomu nelze přiřadit
pravdivostní hodnota a to ani hypotetická.

Pomocí těchto výroků a spojek se snažíme dokazovat věty. V matematice máme 4 základní kameny:
\begin{itemize}
	\item Primitivní pojmy: pojmy, které se nedefinují a nevysvětlují, například bod.
	\item Definice: zavádějí pojmy, pomocí pojmů již známých, například definice prvočísla.
	\item Axiomy: tvrzení, která se nedokazují a která se považují za platná.
	\item Věty: tvrzení, které se musí dokázat a odvozují se z tvrzení již známých.
\end{itemize}

\subsection{Teorie množin}

Množina je primitivní pojem. I přesto, že se jedná o primitivní pojem, budeme si ho nějakým
způsobem specifikovat, aby si každý z nás pod tímto primitivním pojmem představil to stejné.

\begin{concept}[Množina]
Množina je nějaký soubor prvků, které se neopakují.
Nad množinami jsou opět definovány nějaké operace, jako sjednocení, průnik, doplněk...
Množiny a operace nad nimi můžeme vizualizovat například pomocí vennových diagramů.
\end{concept}

\subsubsection*{Mohutnost}
\begin{concept}[Mohutnost množiny]
    Mohutnost množiny jednoduše udává počet jejich prvků. Mohutnost množiny $A$ se značí
    jako $|A|$, nebo jako $card(A)$.
    Mohutnost prázdné množiny je 0, $|\emptyset| = 0$.
\end{concept}
\begin{example}[Mohutnost množiny]
    Nechť $A = \{1, 2, 3\}$. Potom $|A| = card(A) = 3$.
\end{example}

\begin{definition}[Mohutnost množiny přirozených čísel]
	Mohutnost množiny přirozených čísel definujeme jako \uv{alef nula}:
    $$|\mathbb{N}|=\aleph_0$$
\end{definition}

\subsubsection*{Relace}
Před zavedením relace je nutné nejprve definovat pojem kartézského součinu množin.
\begin{definition} [Kartézský součin množin]
	Kartézský součin dvou množin se skládá z uspořádaných dvojic.
	$$A \times B = \{(a, b)\: | \: a \in A, b \in B\}$$
\end{definition}
\begin{example}[Kartézský součin množin]
	Mejme dvě množiny $A$ a $B$:
    \[A = \{u, v\}
	\textrm{, }
	B = \{1, 2, 3\}\]
	Jejich kartézský součin $A\times B$ je potom:
	$$A \times B = \{(u, 1), (u, 2), (u, 3), (v, 1), (v, 2), (v, 3)\}$$
\end{example}

\begin{definition}[Relace]
    Relace je libovolná podmnožina kartézského součinu.
	$$R \subseteq A \times B \textrm{, například: } R = \{(u, 1), (u, 2), (v, 1)\}$$

	Relaci lze vyjádřit i graficky jako orientovaný graf.
\end{definition}


Některé binární relace jsou zobrazení, neboli funkce\footnote{funkce jim říkáme tehdy,
když je cílová množina číselná.}.

% definice
\begin{definition}[Zobrazení]
	Řekneme, že relace $R \subseteq A \times B$ je zobrazení, jestliže:
	$$(a, b_1) \in R \wedge (a, b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2$$

	Zobrazení $f \subseteq A \times B$ můžeme značit jako:
	$$f: A \rightarrow B$$
\end{definition}


\begin{definition}[Inverzní relace]
	Uvažujme množiny $A$, $B$ a binární relaci $R \subseteq B \times A$, potom pro
	inverzní relaci $R^{-1}$ k relaci $R$ platí:
	\begin{align*}
		R^{-1} &\subseteq A \times B\\
		(b, a) &\in R^{-1} \Leftrightarrow (a, b) \in \mathbb{R}
	\end{align*}

	Inverzní relaci k relaci $R$ budeme značit jako $R^{-1}$

	Neformálně řečeno je inverzní relace k relaci $R$ stejná, jako relace R,
	jen v grafické reprezentaci otočíme šipky na druhou stranu.
\end{definition}


\begin{definition}[Definiční obor]
	Nechtě $f: A \rightarrow B$ potom definiční obor $D(f)$ definujeme jako:
	$$D(f) = Dom(f) = \{a \in A; \exists b \in B, f(a) = b\}$$

	Budeme značit $D(f)$, nebo $Dom(f)$\footnote{Z anglického Domain.}.
\end{definition}

\begin{definition}[Obor hodnot]
	Nechtě $f: A \rightarrow B$ potom obor hodnot $H(f)$ definujeme jako:
	$$H(f) = Im(f) = \{b \in B; \exists a \in A, f(a) = b\}$$

	Budeme značit $H(f)$, nebo $Im(F)$\footnote{Z anglického Image.}.
\end{definition}

\begin{definition}[Injekce, prosté zobrazení]
	Řekneme, že zobrazení $f: A \rightarrow B$ je injekce (prosté zobrazení)
	jestliže: $$f(a_1) = b \wedge f(a_2) = b \Rightarrow a_1 = a_2$$

	Pokud zobrazení $f$ je injekce,
	potom inverzní relace je opět zobrazení (a opět injekce).
\end{definition}

\begin{definition}[Surjekce]
	Uvažujme zobrazení $f: A \rightarrow B$

	Potom řekneme, že zobrazení $f$ je surjekce (zobrazení na),
	jestliže oborem hodnot je celá cílová množina, tedy právě tehdy, když:
	$$H(f) = B$$
\end{definition}

\begin{definition}[Bijekce]
	Uvažujme zobrazení $f: A \rightarrow B$

	Jestliže je zobrazení $f$ surjekce a současně injekce,
	řekneme, že se jedná o bijekci.\footnote{Za bijekci se navíc velmi
	často považuje zobrazení, které je bijekce a zároveň v platí $D(f) = A$.}

	Pokud existuje bijekce mezi konečnými množinami $A$ a $B$, potom:
	$$|A| = |B|$$
\end{definition}

\subsubsection*{Binární relace na množinách}
Relací na množině se rozumí binární relace, kde jsou oba prvky kartézského součinu tatáž
množina, tedy $R \subseteq A \times A$.
Specialní případy:
% TODO should be in definition env.
\begin{itemize}
	\item Reflexivní relace: $(a, a) \in R, \forall a \in A$.
	\item Symetrická relace: $(a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$.
	\item Antisymetrická relace: $(a, b) \in R \wedge (b, a) \in R \Rightarrow a = b$.
	\item Tranzitivní relace: $(a, b) \in R \wedge (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$.
	\item Ireflexivní relace: $(a, a) \notin R, \forall a \in A$.
\end{itemize}

\begin{definition}[Relace ekvivalence]
	Relace, která je současně reflexivní, symetrická a
	tranzitivní se nazývá relace ekvivalence.

	Relace ekvivalence vždy rozdělí původní množinu na disjunktní podmnožiny,
	kterým říkáme třídy ekvivalence.
\end{definition}

\begin{definition}[Relace uspořádání]
	Relace, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní se nazývá
	relace uspořádání a vytváří POSET (Partialy Ordered SET).
\end{definition}


\subsubsection*{Operace}
Operace je obecně zobrazení, konkrétní podoba tohoto zobrazení záleží na aritě operace.

Binární operace je zobrazení z kartézského součinu dvou množin do nějaké další množiny, velmi často
jsou všechny tyto 3 množiny totožné.
$$f: A \times B \rightarrow C$$

\subsubsection*{Konstrukce přirozených čísel}
Z axiomů teorie množin víme, že prázdná množina existuje. Definujeme unární operaci
následníka:
$$A' = A \cup \{A\}$$
Opakovanou aplikací operace následníka na původně prázdnou množinu jsme schopni vytvořit
všechna přirozená čísla.
$$\emptyset' = \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{\emptyset\}$$
$$\{\emptyset\}' = \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$$

Definice operace plus ($+$) na takto definovaných přirozených číslech:
$$A + \emptyset = A$$
$$A + B' = (A+B)'$$

Definice operace krát ($\cdot$) na takto definovaných přirozených číslech:
$$A \cdot \emptyset = \emptyset$$
$$A \cdot B' = A \cdot B + A$$

\subsubsection*{Konstrukce celých čísel}
Oproti přirozeným číslům musíme přidat nulu a záporné hodnoty. Můžeme k tomu
využít relaci ekvivalence.

Uvažujme dvojice přirozených čísel:
$$(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$$
Potom řekneme, že:
$$(a, b) \sim (c, d): a + d = b + c$$

\begin{theorem}
	Výše definovaná relace $\sim$ je relace ekvivalence.
\end{theorem}
\begin{proof}
	Je třeba ověřit splnění vlastností, které z definice požadujeme od relace ekvivalence:
	\begin{itemize}
		\item $(a, b) \sim (a, b): a + b = b + a$ \hfill Reflexivita
		\item  $(a, b) \sim (c, d) \Rightarrow (c, d) \sim (a, b): a + d = b +
		c \Rightarrow c + b = d + a$ \hfill Symetrie
		\item $(a, b) \sim (c, d) \wedge (c, d) \sim (e, f) \Rightarrow (a, b) \sim (e, f):
		a + d = b + c \wedge c + f = d + e \Rightarrow a + f = b + e$ \hfill Tranzitivita
	\end{itemize}
\end{proof}

Množinu $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ tedy relace $\sim$ rozdělí na třídy rozkladu, kde každá třída
bude tvořena uspořádanými dvojicemi, se stejným rozdílem. Tyto třídy ekvivalence mohou reprezentovat
všechna celá čísla.

\subsubsection*{Konstrukce racionalních čísel}
Racionální čísla narozdíl od celých a přirozených mají lepší vlastnosti, umožňují dělení.
Racionální čísla jsou první obor, který se nazývá těleso, nebo také pole, pole/těleso racionálních
čísel.

Uvažujme uspořádané dvojice celých čísel
$(a, b) \in \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} \smallsetminus \{0\}$.
Na takovýchto dvojicích zavedeme následujicí relaci: $(a, b) \sim (c, d): a \cdot d=b \cdot c$.
Kde $\cdot$ představuje násobení nad množinou celých čísel.

Opět tvrdíme, že relace $\sim$ je relace ekvivalence a zase množinu
$\mathbf{Z} \times \mathbf{Z} \smallsetminus \{0\}$ rozdělí na třídy ekvivalence, kde jednotlivé
třídy mohou reprezentovat všechna racionální čísla.