distributions.md

Распределения

Свойство / Dist	Bernoulli	Binomial
Граф
Тип	дискретное	дискретное
Параметры	$p \in (0,1)$	$n \in \mathbb{N},; p \in (0,1)$
Поддержка (значения)	$x \in {0,1}$	$k = 0,1,\dots,n$
PMF / PDF	$P(X=1)=p,;P(X=0)=1-p$	$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
Мат. ожидание	$E[X]=p$	$E[X]=np$
Дисперсия	$Var[X]=p(1-p)$	$Var[X]=np(1-p)$
Когда использовать	Один эксперимент: успех/неуспех $0/1$	Количество успехов в $n$ независимых испытаниях

Свойство / Dist	Hypergeometric	Geometric
Граф
Тип	дискретное	дискретное
Параметры	$N \in \mathbb{N},; K \in {0,\dots,N},; n \in {0,\dots,N}$	$p \in (0,1)$
Поддержка (значения)	$k = 0,1,\dots,n$	$k = 1,2,\dots$
PMF / PDF	$P(X=k)=\dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$	$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$
Мат. ожидание	$E[X]=n\cdot \dfrac{K}{N}$	$E[X]=\dfrac{1}{p}$
Дисперсия	$Var[X]=n \dfrac{K}{N}\dfrac{N-K}{N}\dfrac{N-n}{N-1}$	$Var[X]=\dfrac{1-p}{p^2}$
Когда использовать	Выбор из конечной популяции без возврата	Сколько попыток до первого успеха

Свойство / Dist	Poisson	Uniform
Граф
Тип	дискретное	непрерывное
Параметры	$\lambda > 0$	$a < b$
Поддержка (значения)	$k = 0,1,2,\dots$	$x \in [a,b]$
PMF / PDF	$P(X=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$	$f(x)=\dfrac{1}{b-a},; a\le x\le b$
Мат. ожидание	$E[X]=\lambda$	$E[X]=\dfrac{a+b}{2}$
Дисперсия	$Var[X]=\lambda$	$Var[X]=\dfrac{(b-a)^2}{12}$
Когда использовать	Количество редких событий за фиксированный интервал	Полное равенство шансов на отрезке $[a,b]$

Свойство / Dist	Exponential	Normal
Граф
Тип	непрерывное	непрерывное
Параметры	$\lambda > 0$	$\mu \in \mathbb{R},; \sigma^2 > 0$
Поддержка (значения)	$t \ge 0$	$x \in \mathbb{R}$
PMF / PDF	$f(t)=\lambda e^{-\lambda t},; t\ge 0$	$f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\Big)^2}$
Мат. ожидание	$E[X]=\dfrac{1}{\lambda}$	$E[X]=\mu$
Дисперсия	$Var[X]=\dfrac{1}{\lambda^2}$	$Var[X]=\sigma^2$
Когда использовать	Время до следующего события в потоке Пуассона	Сумма большого числа мелких независимых влияний