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Author: NoyeArk

leetcode/4-每日一题/1545. 找出第 N 个二进制字符串中的第 K 位.md

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+# [1545. 找出第 N 个二进制字符串中的第 K 位](https://leetcode.cn/problems/find-kth-bit-in-nth-binary-string/description/)
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+> **日期**：2026-03-03  
+> **所用时间**：2min  
+> **知识点**：递归、模拟
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+## 1. 题目描述
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+给定两个正整数 `n` 和 `k`。按如下规则生成二进制字符串序列 $S_1, S_2, \ldots, S_n$：
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+- $S_1 = \texttt{"0"}$
+- 对 $i > 1$：$S_i = S_{i-1} + \texttt{"1"} + \text{reverse}(\text{invert}(S_{i-1}))$
+
+其中 $+$ 表示拼接，$\text{reverse}(x)$ 表示将字符串 $x$ 反转，$\text{invert}(x)$ 表示将 $x$ 中每一位取反（0→1，1→0）。
+
+请返回 **$S_n$ 中第 $k$ 位字符**（从左到右，从 1 开始计数）。返回字符 `'0'` 或 `'1'`。
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+**前几项示例：**
+
+- $S_1 = \texttt{"0"}$
+- $S_2 = \texttt{"0"} + \texttt{"1"} + \texttt{"1"} = \texttt{"011"}$
+- $S_3 = \texttt{"011"} + \texttt{"1"} + \texttt{"100"} = \texttt{"0111001"}$
+- $S_4 = \texttt{"0111001"} + \texttt{"1"} + \texttt{"0110001"} 的反转取反部分 = \texttt{"011100110110001"}$（长度 $2^4-1=15$）
+
+**示例 1：**
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+- **输入**：n = 3, k = 1
+- **输出**："0"
+- **解释**：$S_3 = \texttt{"0111001"}$，第 1 位为 `'0'`。
+
+**示例 2：**
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+- **输入**：n = 4, k = 11
+- **输出**："1"
+- **解释**：$S_4$ 的第 11 位为 `'1'`。
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+**约束：**
+
+- $1 \le n \le 20$
+- $1 \le k \le 2^n - 1$
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+---
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+## 2. 递归
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+**思路：**
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+$S_n$ 的长度为 $2^n - 1$，结构为：**前半段** = $S_{n-1}$，**中间一位** = `'1'`，**后半段** = $\text{reverse}(\text{invert}(S_{n-1}))$。中间位置为 $2^{n-1} = \texttt{1 << (n-1)}$。
+
+- 若 `n == 1`：$S_1 = \texttt{"0"}$，直接返回 `'0'`。
+- 若 `k == 2^(n-1)`：正好在中间，返回 `'1'`。
+- 若 `k < 2^(n-1)`：在第 $n$ 层的前半段，即 $S_{n-1}$ 的第 $k$ 位，递归 `findKthBit(n-1, k)`。
+- 若 `k > 2^(n-1)`：在后半段。后半段是「先对 $S_{n-1}$ 取反再反转」，因此从右往左数第 $(2^n - k)$ 位对应 $S_{n-1}$ 中从左往右第 $(2^n - k)$ 位取反。递归 `findKthBit(n-1, (1<<n) - k)` 得到该位在 $S_{n-1}$ 中的值，再取反返回。
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+**复杂度分析：**
+
+- 时间复杂度：$O(n)$（递归深度为 $n$，每层 $O(1)$）
+- 空间复杂度：$O(n)$（递归栈）
+
+**Python3**
+
+```python
+class Solution:
+    def findKthBit(self, n: int, k: int) -> str:
+        if n == 1:
+            return '0'
+        if k == 1 << (n - 1):
+            return '1'
+        if k < 1 << (n - 1):
+            return self.findKthBit(n - 1, k)
+        res = self.findKthBit(n - 1, (1 << n) - k)
+        return '0' if res == '1' else '1'
+```