|
| 1 | +{ |
| 2 | + "cells": [ |
| 3 | + { |
| 4 | + "cell_type": "markdown", |
| 5 | + "id": "dd560ada", |
| 6 | + "metadata": {}, |
| 7 | + "source": [ |
| 8 | + "# TP 2.2 : Estimation" |
| 9 | + ] |
| 10 | + }, |
| 11 | + { |
| 12 | + "cell_type": "markdown", |
| 13 | + "id": "20c928e4", |
| 14 | + "metadata": {}, |
| 15 | + "source": [ |
| 16 | + "## 1. Loi de Pareto\n", |
| 17 | + "\n", |
| 18 | + "On considère dans cette partie une variable aléatoire suivant une loi de Pareto d'indice $\\alpha$. C'est-à-dire $X\\sim \\mathcal{P}(\\alpha)$ si \n", |
| 19 | + "$$\n", |
| 20 | + "\\mathbb{P}(X>t)=x^{-\\alpha},\\quad t>1.\n", |
| 21 | + "$$\n", |
| 22 | + "On supposera, si besoin, que le parametre $\\alpha>2$ pour s'arrurer que l'espérance et la variance de $X$ soit bien définie.\n" |
| 23 | + ] |
| 24 | + }, |
| 25 | + { |
| 26 | + "cell_type": "markdown", |
| 27 | + "id": "2a4f7ed1", |
| 28 | + "metadata": {}, |
| 29 | + "source": [ |
| 30 | + "<div class=\"alert alert-block alert-success\">\n", |
| 31 | + " En utilisant le fait suivant :\n", |
| 32 | + "Si $Z$ est une variable aléatoire de fonction de répartition $F$ alors si $U\\sim \\mathcal{U}([0,1])$, la variable $F^{-1}(U)$ suit la même loi que $Z$.\n", |
| 33 | + "\n", |
| 34 | + "Construire un vecteur de taille 100 contenant des réalisations d'une variable aléatoire suivant une loi $\\mathcal{P}(3)$.\n", |
| 35 | + " \n", |
| 36 | + "</div>" |
| 37 | + ] |
| 38 | + }, |
| 39 | + { |
| 40 | + "cell_type": "code", |
| 41 | + "execution_count": null, |
| 42 | + "id": "6bc45bb2", |
| 43 | + "metadata": {}, |
| 44 | + "outputs": [], |
| 45 | + "source": [ |
| 46 | + "## A FAIRE" |
| 47 | + ] |
| 48 | + }, |
| 49 | + { |
| 50 | + "cell_type": "markdown", |
| 51 | + "id": "deccc0a1", |
| 52 | + "metadata": {}, |
| 53 | + "source": [ |
| 54 | + "## 2. Estimation\n", |
| 55 | + "\n", |
| 56 | + "Dans cette partie on souhaite comparer les estimateurs par la méthodes des moments et du maximum de vraisemblance du parametre $\\alpha$.\n", |
| 57 | + "<div class=\"alert alert-block alert-success\">\n", |
| 58 | + " Utilisez la cellule suivante pour répondre aux questions :\n", |
| 59 | + " <ol>\n", |
| 60 | + " <li> Calculer (à la main) l'estimateur par la méthode des moments de $\\alpha$.</li>\n", |
| 61 | + " <li> Discuter en quelque mots si cet estimateur est fortement consistent ? Asymptotiquement normal ? </li>\n", |
| 62 | + " <li> Illustrer numériquement la consistence de l'estimateur des moments. </li>\n", |
| 63 | + " <li> Illustrer, en vous inspirant de la première partie du TP 2.1 numériquement, la normalité asymptotique de l'estimateur des moments.</li>\n", |
| 64 | + " </ol>\n", |
| 65 | + "</div>" |
| 66 | + ] |
| 67 | + }, |
| 68 | + { |
| 69 | + "cell_type": "code", |
| 70 | + "execution_count": null, |
| 71 | + "id": "077a0cba", |
| 72 | + "metadata": {}, |
| 73 | + "outputs": [], |
| 74 | + "source": [ |
| 75 | + "#A FAIRE" |
| 76 | + ] |
| 77 | + }, |
| 78 | + { |
| 79 | + "cell_type": "markdown", |
| 80 | + "id": "7e109cec", |
| 81 | + "metadata": {}, |
| 82 | + "source": [ |
| 83 | + "<div class=\"alert alert-block alert-success\">\n", |
| 84 | + " Utilisez la cellule suivante pour répondre aux questions :\n", |
| 85 | + " <ol>\n", |
| 86 | + " <li> Calculer (à la main) l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\\alpha$.</li>\n", |
| 87 | + " <li> Illustrer numériquement la consistence de l'estimateur des moments. </li>\n", |
| 88 | + " <li> Illustrer, en vous inspirant de la première partie du TP 2.1, numériquement la normalité asymptotique de l'estimateur des moments.</li>\n", |
| 89 | + " </ol>\n", |
| 90 | + "</div>" |
| 91 | + ] |
| 92 | + }, |
| 93 | + { |
| 94 | + "cell_type": "code", |
| 95 | + "execution_count": null, |
| 96 | + "id": "f936caf6", |
| 97 | + "metadata": {}, |
| 98 | + "outputs": [], |
| 99 | + "source": [ |
| 100 | + "#A FAIRE" |
| 101 | + ] |
| 102 | + }, |
| 103 | + { |
| 104 | + "cell_type": "markdown", |
| 105 | + "id": "0b15056d", |
| 106 | + "metadata": {}, |
| 107 | + "source": [ |
| 108 | + "<div class=\"alert alert-block alert-success\">\n", |
| 109 | + " Utilisez la cellule suivante pour répondre aux questions :\n", |
| 110 | + " <ol>\n", |
| 111 | + " <li> En vous inspirant de la première partie du TP 2.1, calculer la variance de chaqun des deux estimateurs.</li>\n", |
| 112 | + " <li> L'un vous semble-t-il plus performent ? Est-ce surprenant ? </li>\n", |
| 113 | + " </ol>\n", |
| 114 | + "</div>" |
| 115 | + ] |
| 116 | + }, |
| 117 | + { |
| 118 | + "cell_type": "code", |
| 119 | + "execution_count": null, |
| 120 | + "id": "1bfa826f", |
| 121 | + "metadata": {}, |
| 122 | + "outputs": [], |
| 123 | + "source": [ |
| 124 | + "#A FAIRE" |
| 125 | + ] |
| 126 | + }, |
| 127 | + { |
| 128 | + "cell_type": "markdown", |
| 129 | + "id": "e95d0c76", |
| 130 | + "metadata": {}, |
| 131 | + "source": [ |
| 132 | + "## 3. Pour aller plus loin : le bootstrap.\n", |
| 133 | + "\n", |
| 134 | + "Maintenant, contrairement à la première partie du TP 2.1, nous supposerons avoir uniquement un vecteur de 100 réalisation de notre loi de Pareto et qu'il nous est IMPOSSIBLE d'en tirer ou simuler d'avantage.\n", |
| 135 | + "\n", |
| 136 | + "Pour criconvenir a ce désagrément B. Efron propose en 1979 la méthode suivante :\n", |
| 137 | + "\n", |
| 138 | + "Soit $X_1,\\dots,X_n$ notre échantillon. On va alors tirer dans cet échantillon pour construire un echantillon bootstrap.\n", |
| 139 | + "Formellement on tirer $u(1),\\dots,u(n)$ $n$ variables aléatoires i.i.d uniforme sur {$1,\\dots,n$} (donc discrète). Léchantillon bootstrap est alors $X_{u(1)},\\dots,X_{u(n)}$.\n", |
| 140 | + "\n", |
| 141 | + "Attention : ce n'est pas un mélange des $(X_i)$, en effet le même $X_{i_0}$ peut apparaitre plusieur fois dans l'échantillon bootstrap.\n", |
| 142 | + "\n", |
| 143 | + "Pour $B\\in \\mathbb{N}$ on peut répéter cette opétation $B$ fois et ainsi obtenir $B$ échantillons noté $X_{1}^b,\\dots,X_{n}^b$ pour $b$ allant de $1$ à $B$. Sur chaque échantillon on peut alors construire un estimateur de $\\alpha$ et ainsi obtenir $\\hat \\alpha_n^1,\\dot,\\hat \\alpha_n^B$, $B$ estimateur bootstrap.\n", |
| 144 | + "\n", |
| 145 | + "Sous certaine condition, en particulier si $\\sqrt{n}(\\hat \\alpha_n-\\alpha)\\underset{n\\rightarrow\\infty}{\\longrightarrow}\\mathcal{N}(0,\\sigma^2)$, on a \n", |
| 146 | + "$$\n", |
| 147 | + "\\sqrt{B}\\left(\\frac{1}{B}\\sum_{b=1}^B\\hat \\alpha_n^b-\\alpha_n\\right)\\underset{n\\rightarrow\\infty}{\\longrightarrow}\\mathcal{N}(0,\\sigma^2).\n", |
| 148 | + "$$\n", |
| 149 | + "\n", |
| 150 | + "<div class=\"alert alert-block alert-success\">\n", |
| 151 | + " Utilisez la cellule suivante pour répondre aux questions :\n", |
| 152 | + " <ol>\n", |
| 153 | + " <li> Mettre en place une procédure bootsrap pour l'estimateur du maximum de vraisemblance. Vous pourrez vous aider de la fonction <code>sample()<code>. </li>\n", |
| 154 | + " <li> Vérifier numériquement que la moyenne des estimateur bootstrap vérifie bien la propriété ci dessus. </li>\n", |
| 155 | + " </ol>\n", |
| 156 | + "</div>" |
| 157 | + ] |
| 158 | + }, |
| 159 | + { |
| 160 | + "cell_type": "code", |
| 161 | + "execution_count": null, |
| 162 | + "id": "6add6270", |
| 163 | + "metadata": {}, |
| 164 | + "outputs": [], |
| 165 | + "source": [ |
| 166 | + "#A FAIRE" |
| 167 | + ] |
| 168 | + }, |
| 169 | + { |
| 170 | + "cell_type": "markdown", |
| 171 | + "id": "d1c7d208", |
| 172 | + "metadata": {}, |
| 173 | + "source": [ |
| 174 | + "<div class=\"alert alert-block alert-success\">\n", |
| 175 | + " Utilisez la cellule suivante pour répondre aux questions : Les questions 2 et 3 concernent les tests que nous verrons demain, vous pourrez donc y revenir à ce moment la.\n", |
| 176 | + " <ol>\n", |
| 177 | + " <li> Se servir de cette méthode pour estimer la variance de l'estimateur du maximum de vraisemblance. </li>\n", |
| 178 | + " <li> Comment se servir de cette méthode pour construire un test de niveau $0.95$ testant l'hypothèse $H_0 : \\alpha= 3$ contre l'alternative $H_1\\neq 3$ </li>\n", |
| 179 | + " <li> Vous chercherez à évaluer la puissance de ce test en fonction de $\\alpha$. </li>\n", |
| 180 | + " </ol>\n", |
| 181 | + "</div>" |
| 182 | + ] |
| 183 | + }, |
| 184 | + { |
| 185 | + "cell_type": "code", |
| 186 | + "execution_count": null, |
| 187 | + "id": "f06c556b", |
| 188 | + "metadata": {}, |
| 189 | + "outputs": [], |
| 190 | + "source": [ |
| 191 | + "#A FAIRE" |
| 192 | + ] |
| 193 | + } |
| 194 | + ], |
| 195 | + "metadata": { |
| 196 | + "kernelspec": { |
| 197 | + "display_name": "Python 3 (ipykernel)", |
| 198 | + "language": "python", |
| 199 | + "name": "python3" |
| 200 | + }, |
| 201 | + "language_info": { |
| 202 | + "codemirror_mode": { |
| 203 | + "name": "ipython", |
| 204 | + "version": 3 |
| 205 | + }, |
| 206 | + "file_extension": ".py", |
| 207 | + "mimetype": "text/x-python", |
| 208 | + "name": "python", |
| 209 | + "nbconvert_exporter": "python", |
| 210 | + "pygments_lexer": "ipython3", |
| 211 | + "version": "3.11.4" |
| 212 | + } |
| 213 | + }, |
| 214 | + "nbformat": 4, |
| 215 | + "nbformat_minor": 5 |
| 216 | +} |
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