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Author: colinaaa

book.tex

@@ -8,8 +8,8 @@
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 \usepackage{interval}
 
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-  soft open fences,
+\intervalconfig{%
+	soft open fences,
 }
 
 \def\figureautorefname{图}

src/Ln1-AsymptoticOrderGrowth.tex

@@ -1,73 +1,73 @@
 \chapter{算法渐进分析}
 
 \begin{introduction}
-   \item 渐进记号
-   \item 渐进增长的性质
-   \item 常见的渐进函数
+	\item 渐进记号
+	\item 渐进增长的性质
+	\item 常见的渐进函数
 \end{introduction}
 
 \section{关于算法的计算效率}
 当我们在了解计算效率或者研究算法的复杂度时，我们主要集中于运行算法的时间效率
 --因为我们总是希望能够更快地运行算法。当然对于空间复杂度也是不能够忽略的，
 不过一下我们主要以算法的时间复杂度为载体，介绍算法的渐进分析，空间复杂度的分析
 可以进行类比。
- 
+
 一个算法在规模为n的输入下，最坏情况运行时间增长率最多与某个函数$f(n)$成正比，
 函数$f(n)$因此就成为了我们算法运行时间的一个界限，下面将对此进行详细讨论。
- 
+
 \section{\texorpdfstring{$O,\ \Omega,\ and\ \Theta $}{O, Ω, and θ}}
 在这里，我们希望寻找一种表达算法时间复杂或者是其他函数的方法，在这种方法中，常数系数和低次项
 对结果是没有影响的。比如 $1.62n^2+3.5n+2.3$ 增长的方式和 $n^2$ 一样。
 
 \begin{figure}[h]
-   \begin{minipage}[t]{1\linewidth}
-      \centering
-      \includegraphics[width=10cm,height=3.5cm]{image/asymptotic_analysis_1.png}
-      \caption{$O,\ \Omega,\ and\ \Theta $}
-   \end{minipage}
+	\begin{minipage}[t]{1\linewidth}
+		\centering
+		\includegraphics[width=10cm,height=3.5cm]{image/asymptotic_analysis_1.png}
+		\caption{$O,\ \Omega,\ and\ \Theta $}
+	\end{minipage}
 \end{figure}
- 
+
 \subsection{渐进上界 $O$}
-令 $f(n)$ 为算法在输入规模为n的情况下的运行时间(最坏情况)，给定另一个函数 $g(n)$，当n充分大，
+令 $f(n)$ 为算法在输入规模为n的情况下的运行时间 (最坏情况)，给定另一个函数 $g(n)$，当n充分大，
 函数 $f(n)$ 不会超过 $g(n)$ 的常数倍，就有 $f(n)=O(g(n))$。数学定义如下：
 
-\begin{definition}{O ($\cdot$)}{def1}   
-   \[    
-   O(g(n))= \{f(n): \exists\ c,n_0\in R^+,such\ that: \forall n\ge n_0:0\le f(n)\le cg(n)\} 
-   \]
+\begin{definition}{O ($\cdot$)}{def1}
+	\[
+		O(g(n))= \{f(n): \exists\ c,n_0\in R^+,such\ that: \forall n\ge n_0:0\le f(n)\le cg(n)\}
+	\]
 \end{definition}
-   
+
 
 举个例子作为说明，假设算法的运行时间有着$f(n)=pn^2+qn+r$的形式，其中p，q，r均为正常数，我们可以说
 任何具有这种形式的函数都是$O(n^2)$即$pn^2+qn+r=O(n^2)$ ，证明如下：
 \begin{proof}
-   \begin{align*}
-      \forall n \geq 1,t&hen\ qn\leq qn^2,r\leq rn^2 \\
-      \Longrightarrow   f(n)&=pn^2+qn+r \\
-      &\leq pn^2+pn^2+rn^2\\
-      &=(p+q+r)n^2
-   \end{align*}
+	\begin{align*}
+		\forall n \geq 1,t     & hen\ qn\leq qn^2,r\leq rn^2 \\
+		\Longrightarrow   f(n) & =pn^2+qn+r                  \\
+		                       & \leq pn^2+pn^2+rn^2         \\
+		                       & =(p+q+r)n^2
+	\end{align*}
 \end{proof}
 注意到$O(\cdot)$仅仅代表一个上界，并不代表函数准确的增长率，例如$pn^2+qn+r=O(n^3)$也是成立的
 但是它不是“最紧”的一个上界。
 \subsection{渐进下界\ $\Omega$}
 对于算法的渐进下界，我们同样可以对其进行说明：令$f(n)$为算法在输入规模为n的情况下的运行时间，给
 定另一个函数$g(n)$，如果对充分大的n，函数$f(n)$至少是函数$g(n)$的常数倍，就有$f(n)=\Omega(g(n))$
 \begin{definition}{$\Omega(\cdot)$}{def2}
-\[
-   \Omega (g(n))= \{f(n): \exists\ c,n_0\in R^+,such\ that: \forall n\ge n_0:0\le cg(n)\le f(n)\}
-\]
+	\[
+		\Omega (g(n))= \{f(n): \exists\ c,n_0\in R^+,such\ that: \forall n\ge n_0:0\le cg(n)\le f(n)\}
+	\]
 \end{definition}
 
 继续使用 $f(n)=pn^2+qn+r$ 的例子，其中q 、p、 r 均为正常数，我们可以说具有任何这种形式的函数都是$\Omega(n)$。
 证明如下：
 \begin{proof}
-   \begin{align*}
-      \forall n \geq 1,t&hen\ qn\leq 0,r\geq 0 \\
-      \Longrightarrow   f(n)&=pn^2+qn+r \\
-      &\geq pn^2+pn^2+rn^2\\
-      &=(p+q+r)n^2
-   \end{align*}
+	\begin{align*}
+		\forall n \geq 1,t     & hen\ qn\leq 0,r\geq 0 \\
+		\Longrightarrow   f(n) & =pn^2+qn+r            \\
+		                       & \geq pn^2+pn^2+rn^2   \\
+		                       & =(p+q+r)n^2
+	\end{align*}
 \end{proof}
 
 同$O(\cdot)$的情况，我们注意到$\Omega(\cdot)$仅仅代表一个下界，例如：$f(n)=pn^2+qn+r=\Omega(n)$也是成立的。
@@ -76,9 +76,9 @@ \subsection{渐进紧界$\Theta$}
 在上面知识的支持下，我们发现，对于同一个$f(n)$，其上下界，所对应的$g(n)$可能是相同的，即$f(n)=O(g(n))$并且$f(n)=\Omega(g(n))$
 ，在这种情况下，我们可以说$f(n)=\Theta(g(n))$
 \begin{definition}{$\Theta(\cdot)$}{def3}
-   \[
-      \Theta(g(n)) = \{f(n): \exists\ c_1,c_2,n_0\in R^+,such\ that: \forall n\ge n_0:0\le c_1 g(n)\le f(n)\le c_2 g(n)\}
-   \]
+	\[
+		\Theta(g(n)) = \{f(n): \exists\ c_1,c_2,n_0\in R^+,such\ that: \forall n\ge n_0:0\le c_1 g(n)\le f(n)\le c_2 g(n)\}
+	\]
 \end{definition}
 
 沿用刚才的例子，对于$f(n)=pn^2+qn+r$，我们可以说任何具有该
@@ -90,42 +90,42 @@ \subsection{渐进紧界$\Theta$}
 \\
 设$f$和$g$是两个函数，并且
 \[
-   \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{f(n)}{g(n)} = c \ (c\ge 0)
+	\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{f(n)}{g(n)} = c \ (c\ge 0)
 \]
 那么$f(n)=\Theta(g(n))$，关于该部分的证明，留给读者自行探索。
 
 
 \section{渐进增长的一些性质}
 下面将给出渐进增长的一些性质，对于性质的证明，可以自己证明，然后与\cite{textbook1}的P38-P40的证明进行对照
 \begin{theorem}{Transitivity}{}
-   (a)\ If\ $f=O(h)$\ and\ $g=O(h)$, then $f=O(h)$\\
-   (b)\ If\ $f=\Omega(h)$\ and\ $g=\Omega(h)$, then $f=\Omega(h)$\\
-   (c)\ If\ $f=\Theta(h)$\ and\ $g=\Theta(h)$, then $f=\Theta(h)$
+	(a)\ If\ $f=O(h)$\ and\ $g=O(h)$, then $f=O(h)$\\
+	(b)\ If\ $f=\Omega(h)$\ and\ $g=\Omega(h)$, then $f=\Omega(h)$\\
+	(c)\ If\ $f=\Theta(h)$\ and\ $g=\Theta(h)$, then $f=\Theta(h)$
 \end{theorem}
 
 \begin{theorem}{Sum\ of\ Functions}{}
-   假设$f$和$g$是两个函数，若对某个其他的函数$h$，都有:$f=O(h),g=O(h)$\\
-   那么，$f+g=O(h)$\\
-   推广开来：令k是确定的常数，$f_1,f_2,f_3,\ldots,f_k$和$h$是函数，且
-   $f_i=O(h)$ \ \ $i\in (1,k)$,\\
-   那么，$\sum^{k}_{i=1}f_i=O(h)$
+	假设$f$和$g$是两个函数，若对某个其他的函数$h$，都有:$f=O(h),g=O(h)$\\
+	那么，$f+g=O(h)$\\
+	推广开来：令k是确定的常数，$f_1,f_2,f_3,\ldots,f_k$和$h$是函数，且
+	$f_i=O(h)$ \ \ $i\in (1,k)$,\\
+	那么，$\sum^{k}_{i=1}f_i=O(h)$
 \end{theorem}
 
-\begin{theorem}{ }{}
-   假设 $f$ 和 $g$ 是两个函数，(取非负值)，使得 $g = O(f)$ \\
-   那么 $f+g=\Theta(f)$
+\begin{theorem}{}{}
+	假设 $f$ 和 $g$ 是两个函数， (取非负值)，使得 $g = O(f)$ \\
+	那么 $f+g=\Theta(f)$
 \end{theorem}
 
 \section{常见的渐进函数}
 在一般的算法复杂度的分析中，我们常使用$O(\cdot)$进行渐进分析，其中常用的函数有以下几个：\\
 算数级复杂度：
 \[
-O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^2logn)<O(n^3)< \cdots
+	O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^2logn)<O(n^3)< \cdots
 \]
 
 指数级复杂度：
 \[
-O(2^n)<O(n!)<O(n^n)
+	O(2^n)<O(n!)<O(n^n)
 \]
 
 如要了解更多的标准记号和常用函数，可以参考~\cite{cormen2009introduction}