Fix lecture 1 errors (#23)

* fix(ln1): fix some error

thanks @L-LYR for pointing it out

fix #20

* fix(ln1): remove unused assertions

Author: colinaaa

src/Ln1-AsymptoticOrderGrowth.tex

@@ -45,7 +45,8 @@ \subsection{渐进上界 $O$}
 		\forall n \geq 1,t     & hen\ qn\leq qn^2,r\leq rn^2 \\
 		\Longrightarrow   f(n) & =pn^2+qn+r                  \\
 		                       & \leq pn^2+pn^2+rn^2         \\
-		                       & =(p+q+r)n^2
+		                       & =(p+q+r)n^2                 \\
+		                       & = O(n^2)
 	\end{align*}
 \end{proof}
 注意到$O(\cdot)$仅仅代表一个上界，并不代表函数准确的增长率，例如$pn^2+qn+r=O(n^3)$也是成立的
@@ -63,10 +64,9 @@ \subsection{渐进下界\ $\Omega$}
 证明如下：
 \begin{proof}
 	\begin{align*}
-		\forall n \geq 1,t     & hen\ qn\leq 0,r\geq 0 \\
-		\Longrightarrow   f(n) & =pn^2+qn+r            \\
-		                       & \geq pn^2+pn^2+rn^2   \\
-		                       & =(p+q+r)n^2
+		\forall n \geq 1,\,f(n) & =pn^2+qn+r     \\
+		                        & \geq pn^2      \\
+		                        & = \Omega (n^2)
 	\end{align*}
 \end{proof}
 
@@ -77,7 +77,7 @@ \subsection{渐进紧界$\Theta$}
 ，在这种情况下，我们可以说$f(n)=\Theta(g(n))$
 \begin{definition}{$\Theta(\cdot)$}{def3}
 	\[
-		\Theta(g(n)) = \{f(n): \exists\ c_1,c_2,n_0\in R^+,such\ that: \forall n\ge n_0:0\le c_1 g(n)\le f(n)\le c_2 g(n)\}
+		\Theta(g(n)) = \{f(n): \exists\ c_1,c_2,n_0\in R^+,\text{such that:} \forall n\ge n_0:0\le c_1 g(n)\le f(n)\le c_2 g(n)\}
 	\]
 \end{definition}
 
@@ -94,20 +94,19 @@ \subsection{渐进紧界$\Theta$}
 \]
 那么$f(n)=\Theta(g(n))$，关于该部分的证明，留给读者自行探索。
 
-
 \section{渐进增长的一些性质}
 下面将给出渐进增长的一些性质，对于性质的证明，可以自己证明，然后与\cite{textbook1}的P38-P40的证明进行对照
 \begin{theorem}{Transitivity}{}
-	(a)\ If\ $f=O(h)$\ and\ $g=O(h)$, then $f=O(h)$\\
-	(b)\ If\ $f=\Omega(h)$\ and\ $g=\Omega(h)$, then $f=\Omega(h)$\\
-	(c)\ If\ $f=\Theta(h)$\ and\ $g=\Theta(h)$, then $f=\Theta(h)$
+	(a)\ If\ $f=O(g)$\ and\ $g=O(h)$, then $f=O(h)$\\
+	(b)\ If\ $f=\Omega(g)$\ and\ $g=\Omega(h)$, then $f=\Omega(h)$\\
+	(c)\ If\ $f=\Theta(g)$\ and\ $g=\Theta(h)$, then $f=\Theta(h)$
 \end{theorem}
 
 \begin{theorem}{Sum\ of\ Functions}{}
 	假设$f$和$g$是两个函数，若对某个其他的函数$h$，都有:$f=O(h),g=O(h)$\\
 	那么，$f+g=O(h)$\\
 	推广开来：令k是确定的常数，$f_1,f_2,f_3,\ldots,f_k$和$h$是函数，且
-	$f_i=O(h)$ \ \ $i\in (1,k)$,\\
+	$f_i=O(h)$ \ \ $i\in [1,k]$,\\
 	那么，$\sum^{k}_{i=1}f_i=O(h)$
 \end{theorem}