Image-segmentation (#14)

* Image-segmentation

* fix lint

Co-authored-by: wangnengjie <751614701@qq.com>

Author: qzylalala

Makefile

@@ -7,6 +7,7 @@ TEX=\
 	$(SRC)/Network-flows.tex\
 	$(SRC)/Ln9-NearestPoints.tex\
 	$(SRC)/Ln11-LargeIntegerMultiplication.tex\
+	$(SRC)/Image-segmentation.tex\
 
 all: book.pdf
 .PHONY: all clean dev clean-all

book.tex

@@ -39,6 +39,7 @@
 \input{src/Ln11-LargeIntegerMultiplication.tex}
 \input{src/dynamic-programming-1.tex}
 \input{src/Network-flows.tex}
+\input{src/Image-segmentation.tex}
 
 \bibliography{ref.bib}
 \end{document}

image/Image-segmentation1.png

@@ -0,0 +1,58 @@
+\chapter{网络流应用之图像分割}
+
+
+\centering 本章简单介绍网络流在图像分割上的应用。
+
+
+\begin{definition}{背景知识}{def1}
+    图像是可以看作由一个个像素组成的巨大图, 将像素一一用边连接起来, 则这些像素点会成为这个巨大图网络的顶点.
+    一个图由前景和背景组成, 假设顶点上的值用 $a_i$ 表示, $ 0 \leq a_i \leq 1 $,  $a_i$ 趋近于 0 表示 $a_i$ 为图的背景, $a_i$ 趋近于 1 表示 $a_i$ 为图的前景, 并且设所有属于前景的顶点 $a_i$ 构成集合 A, 所有属于背景的顶点 $a_j$ 构成集合 B.
+    假设边上的值用 $w_{ij}$ 表示, $w_{ij}$ 设为边的惩罚值, $w_{ij}$ 趋向于 0 表示“分离” (即 $w_{ij}$ 连接的两个点分别属于前景和背景), $w_{ij}$ 趋向于 1 表示“在一起” (即 $w_{ij}$ 连接的两个点都属于前景或者背景)
+    设总的惩罚值为 $ A = \min\left(\sum_{i \epsilon B}a_i +  \sum_{i \epsilon A}(1 - a_j) + \sum_{i \epsilon A, j \epsilon B}w_{ij} \right) $
+\end{definition}
+
+
+\section{问题实例}
+\subsection{问题描述}
+\begin{itemize}
+    \item 对于下面这个图，利用网络流求解该图前景和背景的最大可能
+\end{itemize}
+
+\begin{figure}[htb]
+	\centering
+	\includegraphics[scale=0.6]{image/Image-segmentation2.png}
+	\caption{图片前景背景识别}\label{fig1}
+\end{figure}
+
+\subsection{思路描述}
+\begin{itemize}
+    \item 图形切割算法通过向图 G (V,E) 添加 S 点和 T 点，将图中所有的顶点，与 S 和 T 建立边，
+          如果一个点与 S 相连，则对应边的权值为该点的值 $a_i$, 如果一个点与 T 相连，则对应边的权值为1减去该点的值 $ 1 - a_j $。
+          可以得到下面这个图:
+\end{itemize}
+
+\begin{figure}[htb]
+    \centering
+    \includegraphics[height=4.5cm]{image/Image-segmentation3.png}
+    \caption{图片前景背景识别}\label{fig2}
+\end{figure}
+
+\begin{itemize}
+    \item   根据最大流最小割, 可以得到得到二分图的最大匹配, 可以得到集合A和B, 保证总的惩罚值 $ A = \min\left(\sum_{i \epsilon B}a_i +  \sum_{i \epsilon A}(1 - a_j) + \sum_{i \epsilon A, j \epsilon B}w_{ij} \right) $ 最小, 
+            最小为 $(0.2 + 0.1) + (1 - 0.9) + (1 - 0.8) + 0.3 + 0.3 = 1.2 $, 而 A 和 B 分别对应图的前景和背景。
+\end{itemize}
+
+
+
+\section{问题扩展}
+\begin{itemize}
+    \item 假如一个图的前景不是一个整体，
+          而是有两个分开的部分，比如两只在两个不同位置的猫在一个图中。
+          这样一个算法能否将图像上的前景和背景分开？
+\end{itemize}
+
+\begin{figure}[htb]
+	\centering
+	\includegraphics[scale=0.6]{image/Image-segmentation1.png}
+	\caption{图片前景背景识别}\label{fig3}
+\end{figure}