fix: make minor fixes on many chapters (#17 , #21)

* fix(ln11): make minor fix on algorithm

change n - 1 to n - 2

fix #16

* fix(stable-matching): fix some typos in stable matching

thanks to @L-LYR for pointing it out

re #18

* fix(dp1): fix a subscript error

thanks to @L-LYR for pointing it out

re #18

* fix(dp1): fix counter example

change 999 to 99, thanks @L-LYR

re #18

* fix(network-flow): fix a subscript problem

thanks to @L-LYR

fix #18

* Another change on two expressions in LN11

* fix: add bracket to an expression

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src/Ln11-LargeIntegerMultiplication.tex

@@ -73,7 +73,7 @@ \subsection{伪代码}
 			$C_2 \leftarrow DirectDAC(A_2, B_1)$\;
 			$C_1 \leftarrow DirectDAC(A_1, B_2)$\;
 			$C_0 \leftarrow DirectDAC(A_1, B_1)$\;
-			\KwRet{$C_3 \ll n + (C_2 + C_1) \ll (n - 1) + C_0$}\;
+			\KwRet{$C_3 \ll n + (C_2 + C_1) \ll (\frac{n}{2}) + C_0$}\;
 		}
 		\Else{
 			\KwRet{$A \times B$}
@@ -138,7 +138,7 @@ \subsection{伪代码}
 			$C_2 \leftarrow DirectDAC(A_2, B_2)$\;
 			$C_1 \leftarrow DirectDAC(A_1, B_1)$\;
 			$C_0 \leftarrow DirectDAC(A_2 + A_1, B_2 + B_1)$\;
-			\KwRet{$C_2 \ll n + (C_0 - C_2 - C_1) \ll (n - 1) + C_1$}\;
+			\KwRet{$C_2 \ll n + (C_0 - C_2 - C_1) \ll (\frac{n}{2}) + C_1$}\;
 		}
 		\Else{
 			\KwRet{$A \times B$}

src/Network-flows.tex

@@ -58,7 +58,7 @@ \section{最大二分匹配问题}
 \end{figure}
 
 \begin{example}
-	如\autoref{fig3}所示，给定二分图中，点被分为了\(V_l\)和\(V_r\)两个部分，构造网络流算法，设置一个起点S，且令S到所有的Vl中的点均有路径，容量为1；设置一个终点T，且从\(V_r\)中的点到T均有路径，容量为1。同时，所有\(V_l\)与\(V_r\)之间的路径容量均设为无穷大，由此可以找到该网络流的最大流和最小割。
+	如\autoref{fig3}所示，给定二分图中，点被分为了\(V_l\)和\(V_r\)两个部分，构造网络流算法，设置一个起点S，且令S到所有的\(V_l\)中的点均有路径，容量为1；设置一个终点T，且从\(V_r\)中的点到T均有路径，容量为1。同时，所有\(V_l\)与\(V_r\)之间的路径容量均设为无穷大，由此可以找到该网络流的最大流和最小割。
 \end{example}
 
 \begin{itemize}

src/dynamic-programming-1.tex

@@ -43,7 +43,7 @@ \subsection{问题描述}
 	给定区间$I_1, I_2, \ldots, I_n$，
 	$s_i$为$I_i$开始时间，$f_i$为$I_i$的结束时间（$f_i>s_i$），$w_i>0$, 假设$\forall i < j$，$ s_i<s_j$。
 	\begin{itemize}
-		\item $OPT(k)$：表示区间集合$\{ I_1, I_2, \ldots , I_i \}$上的最优解权值。
+		\item $OPT(k)$：表示区间集合$\{ I_1, I_2, \ldots , I_k \}$上的最优解权值。
 		\item $P(i)$：表示$I_i$的前驱，当$P(i)=j$时，有$f_j=\max\limits_{1 \leq k < i}\{f_k | f_k < s_i\}$，当$I_i$没有前驱时，$P(i)=0$
 	\end{itemize}
 	目标：寻找一个$\sum w_i$最大的区间子集$R$，满足$\forall I_m,I_n \in R, m < n \text{都有} f_m < s_n$。
@@ -71,7 +71,7 @@ \subsection{贪心}
 		\centering
 		\begin{tikzpicture}
 			\draw[|-|] (0, 0) -- node [above] {\scriptsize 2} (1, 0);
-			\draw[|-|] (1.2, 0) -- node [above] {\scriptsize 999} (2.2, 0);
+			\draw[|-|] (1.2, 0) -- node [above] {\scriptsize 99} (2.2, 0);
 			\draw[|-|] (0.7 , -0.5) -- node [above] {\scriptsize 100} (1.7, -0.5);
 		\end{tikzpicture}
 		\caption{}\label{fig:wis-counterexample2}

src/stable-matching.tex

@@ -7,7 +7,7 @@ \chapter{匹配问题（Matching Problem）}
 \end{introduction}
 
 \section{问题引入}\label{sec:stable-matching-def}
-现在有n个男性的一个集合$M=\{m_1,\dots,m_n\}$和n个女人性一个集合$W=\{w_1,\dots,w_n\}$。
+现在有n个男性的一个集合$M=\{m_1,\dots,m_n\}$和n个女性一个集合$W=\{w_1,\dots,w_n\}$。
 用$M\times W$来表示$(m,w)$所有可能有序对的一个集合，其中$m\in M,w\in W$。一个匹配（Matching）$S$是一个有序对的集合，
 这些有序对来自于$M\times W$，并且每一个来自$M$中的元素和来自$W$中的元素最多在$S$中出现一次。
 一个完美匹配（Perfect Matching）$S'$是指每一个来自$M$和$W$中的元素都出现过一次的匹配。
@@ -124,7 +124,7 @@ \section{算法分析}\label{sec:stable-matching-analyze}
 	当算法结束时得到的匹配集合$S$一定是一个完美匹配。
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-	约定的对最后会形成匹配。我们袈裟算法会在还有一个未匹配的$m$的时候终止。在终止的时候，$m$一定向所有的女性发出过请求，否则算法不会终止。
+	约定的对最后会形成匹配。我们G-S算法会在还有一个未匹配的$m$的时候终止。在终止的时候，$m$一定向所有的女性发出过请求，否则算法不会终止。
 	但这与定理\ref{thm:stable-matching-4}矛盾，不可能有向所有的女性申请过后还有未匹配状态的男性。
 \end{proof}
 最后，我们得到算法的结果是一个稳定匹配