LN27 (#35)

* add Proof-of-Statute

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Author: qzylalala

Makefile

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 .PHONY: all clean dev clean-all

book.tex

@@ -52,6 +52,7 @@
 \input{src/Network-flows.tex}
 \input{src/Image-segmentation.tex}
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+\input{src/Proof-of-Statute.tex}
 
 \bibliography{ref.bib}
 \end{document}

image/Proof-of-Statute1.png

@@ -0,0 +1,84 @@
+\chapter{规约证明: 顶点覆盖  独立集}
+
+\begin{introduction}
+	\item 顶点覆盖
+	\item 独立集
+	\item 顶点覆盖和独立集的相互规约
+\end{introduction}
+
+
+\section{顶点覆盖}
+
+\begin{theorem}{xxx定理}{label-for-this-theorem}
+	这是一个定理。
+\end{theorem}
+
+
+\begin{definition}{定义}
+	对于一个图 G = (V, E)，V是图中所有节点的集合，E是图中所有边的集合，那么图G中的一个顶点覆盖是点集 V 的一个子集 S，S $ \subseteq $ V ，使得 G 中的每一条边的两个端点至少有一个在 S 中
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{形式化定义}
+    给定图 G = (V,E)，图节点集合V，图边集合E，图的一个顶点覆盖 S ，有S $ \subseteq $ V，并且 ∀ (u, v) $ \in $ E (u, v $ \in $ V), u $ \in $ S 或者 v $ \in $ S
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    如下图所示
+	\begin{figure}[hbt]
+        \centering
+        \includegraphics{image/Proof-of-Statute1.png}
+        \caption{图中节点z, w组成的集合是一个顶点覆盖。}\label{fig:example}
+    \end{figure}
+\end{example}
+
+\begin{definition}{最小顶点覆盖}
+    最小顶点覆盖是图的一个顶点覆盖，并且其中的节点数最少。其形式化定义为：对于所有的顶点覆盖组成的集合 S = {$ S_1 $, $ S_2 $, ..., $ S_n $}，最小顶点覆盖 $ S_m $，有 $ S_m \in $ S，∀ $ S_i \in $ S (i ≠ m), |$ S_i $| ≥ |$ S_m $|
+\end{definition}
+
+
+\section{独立集}
+
+\begin{definition}{定义}
+    图的一个顶点子集称为独立集，如果该子集中的任意两个项点在图中不相邻，也即没有边连接这两个点。
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{形式化定义}
+    给定图 G = (V，E)，图节点集合 V，图边集合 E，图的一个独立集 S，S $\subseteq$ V，有 ∀u, v $\in$ S，(u,v) $\notin$ E
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    如下图所示
+	\begin{figure}[hbt]
+        \centering
+        \includegraphics{image/Proof-of-Statute2.png}
+        \caption{图中三个橙色的点构成图的一个独立集}\label{fig:example}
+    \end{figure}
+\end{example}
+
+\begin{definition}{最大独立集}
+    最大独立集是图的一个独立集，并且其中的节点数最多。其形式化定义为：对于图 G = (V,E) 所有的独立集组成的集合 S = {$ S_1 $, $ S_2 $, ..., $ S_n $}，最大独立集 $ S_m $，有 $ S_m \in $ S，∀ $ S_i \in $ S (i ≠ m), |$ S_i $| $ \leq $ |$ S_m $|
+\end{definition}
+
+
+\section{顶点覆盖问题与独立集问题的相互规约}
+
+\begin{theorem}{定理一}
+    一个有n 个结点的图存在一个大小为k 的独立集，当且仅当这个图存在一个大小为n-k 的定点覆盖
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    \begin{itemize}
+        \item 当S是G的顶点覆盖时，V−S是G的独立集。当S是G的顶点覆盖时，V−S是G的独立集。也就是说对于(u,v) $\in$ E, u $\in$ S或者 v $\in$ S 或者 u, v $\in$ S，那么当只有 u $\in$ S时，可以将 v 放到独立集 S′ 中，对于 v 同理，如果 u, v $\in$ S，那么对于(u,v) 这条边的两个端点都不可以放入S′中。由于(u,v) 任意，根据上面的方法，u,v必然在S、S′中的一个集合中，因此 S $\cup$ S′= V，并且此时形成的独立集中任意两个点u′, v′, (u′, v′) ∉ E，否则在上面描述的方法中，u′, v′不可能全部放入独立集S′中。
+        \item 当S是G的独立集时，V−S 是G的顶点覆盖。如果一个图G= (V , E) 有n个节点，它有一个k个节点的独立集S，则对于G中的任意一条边，其最多有一个端点在S中，也就是说对于(u,v) $\in$ E, u $\notin$ S或者 v $\notin$ S 或者 u, v $\notin$ S，那么当 u $\notin$ S时，可以将 u 放到顶点覆盖S′中，对于v同理，如果u,v∉S，那么可以将u,v都放入到顶点覆盖S′ 中。由于(u,v) 任意，根据上面的方法，u,v必然在S、S′中的一个集合中，因此 S $\cup$ S′= V，并且此时对于 ∀(u,v) $\in$ E，u $\in$ S′ 或者 v $\in$ S′ 或者 u, v $\in$ S′，否则根据上面描述的方法，必然没有遍历完所有的边。
+    \end{itemize} 
+\end{proof}
+
+
+\begin{theorem}{定理二}
+    一个有n 个结点的图存在一个最大独立集，当且仅当这个图存在一个最小定点覆盖
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    对于一个图G= (V, E)，其可能存在多个独立集，它们构成一个独立集集合S = {S1, S2, ..., Sn}，我们可以找出其中结点数最多的一个独立集Sm，有k个节点，这就是这个图的最大独立集，那么由定理1，这个图就会有一个n-k 的一个顶点覆盖，这个顶点覆盖是图的最小顶点覆盖，可以使用反证法结合定理1 证明其正确性。
+    同理，反过来我们可以找到图的一个大小为k 的最小顶点覆盖，那么根据定理1，可以得到一个大小为n-k 的独立集，这个独立集就是图的最大独立集，同样可以使用反证法结合定理1 证明其正确性。
+\end{proof}