LN26:P and NP problem (#27)

* LN26:P and NP problem

* LN26:P and NP problem

* LN26:P and NP problem

* Do code refactoring in LN26:P and NP problem

* Do code refactoring in LN26:P and NP problem

* Do code refactoring in LN26:P and NP problem

Author: shangkaiyuan

Makefile

@@ -11,6 +11,7 @@ TEX=\
 	$(SRC)/Ln19-DP-ContextFreeGrammar.tex\
 	$(SRC)/Network-flows.tex\
 	$(SRC)/Image-segmentation.tex\
+	$(SRC)/Ln26-P-NP.tex\
 
 all: book.pdf
 .PHONY: all clean dev clean-all

book.tex

@@ -48,6 +48,7 @@
 \input{src/Ln19-DP-ContextFreeGrammar.tex}
 \input{src/Network-flows.tex}
 \input{src/Image-segmentation.tex}
+\input{src/Ln26-P-NP.tex}
 
 \bibliography{ref.bib}
 \end{document}

image/P_NP1.png

@@ -0,0 +1,190 @@
+	
+	\chapter{P/NP 基本概念}
+	
+	\begin{introduction}
+		\item $P$,$NP$,$NPC$,$NP-Hard$问题定义
+		\item 多项式时间归约
+		\item NPC问题概述
+		\item P与NP的讨论
+	\end{introduction}
+	
+	\section{引入}
+	\begin{table}[!htbp]
+		\centering
+		\caption{不同算法的复杂度}
+		\begin{tabular}{cc}
+			\toprule[0.5mm]
+			Easy Problem & Hard Problem\\
+			(存在多项式复杂度的确定性算法)&(不知道是否存在多项式复杂度的确定性算法)\\
+			\midrule[0.4mm]
+			最短路问题&最长路径问题\\ \\
+			2SAT问题&3SAT问题\\ \\
+			2色问题&3色问题\\ 
+			\bottomrule
+		\end{tabular}
+	\end{table}
+	
+	\section{概念辨析}
+	\begin{definition}{$P$类问题}{def1}
+	$P$代表\textit{Polynomial}，指存在多项式复杂度的算法的问题。
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}{$NP$类问题}{def1}
+	$NP$代表\textit{Non-deterministic Polynomial}，指可以在多项式时间内验证一个解，或有一个多项式时间的非确定性算法的问题。
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}{$NPC$类问题}{def3}
+	$NPC$代表\textit{Non-deterministic Polynomial Complete}，指满足以下两个条件的问题:
+	
+	(1)它是一个$NP$问题。
+	
+	(2)所有的$NP$问题都可以在多项式时间归约到它。
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}{$NP-Hard$类问题}{def4}
+		指满足$NPC$问题的第二条，但不一定要满足第一条的问题。
+	\end{definition}
+	
+	为了更好的阐述这种关系，我们采用它们之间的关系图来对此进行描述，见\autoref{fig:relation-of-three-questions}：
+	
+	\begin{figure}[ht]
+		\begin{minipage}[t]{1\linewidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=10cm,height=5cm]{image/P_NP1.png}
+			\caption{$P$，$NP$，$NPC$，$NPhard$关系图}\label{fig:relation-of-three-questions}
+		\end{minipage}
+	\end{figure}
+	
+	\section{多项式时间归约}
+	\subsection{多项式时间归约的定义与性质}
+	在讨论$NPC$问题时我们谈到了多项式时间规约，这里给出了多项式时间规约的定义：
+	\begin{definition}{多项式时间规约}{def5}
+	多项式时间归约：如果问题$X$和问题$Y$满足以下两条性质，那么问题$X$可以在多项式时间归约到问题$Y$，记作$X\leq_pY$:
+		
+	(1)问题$X$可以通过多项式时间的基本运算步骤转换为问题。
+	
+	(2)问题$X$多项式次调用求解问题Y的算法。
+	\end{definition}
+	有关多项式时间规约，有以下四条性质：
+	\begin{theorem}{多项式规约的四条性质}{}	
+		\begin{enumerate}
+			\item 如果$X\leq_pY$且$Y$能在多项式时间内求解，则$X$也能在多项式时间内求解。
+			\item 如果 $X\leq_pY$，且$Y$不能在多项式时间内求解，则$X$也不能在多项式内求解。
+			\item 如果$X\leq_pY$且$Y\leq_pX$，则$X$，$Y$多项式等价，记为$X\equiv_pY$。若$X$，$Y$中一方能在多项式时间内求解则另一方也能在多项式时间内求解。
+			\item 归约的传递性：若$Z\leq_pY$且$Y\leq_pX$，则$Z\leq_pX$。
+		\end{enumerate}
+		
+	\end{theorem}
+
+\paragraph*{以下有三点提醒：}
+
+\begin{itemize}
+	\item 注意体会上述两个定理中$X$与$Y$的表达顺序;
+	\item 第二条定理的证明可以采用反证法，假设$X$可以在多项式时间内求解，因为$Y$能够在多项式时间内归约到$X$问题求解，所以$Y$也能在多项式时间内求解，矛盾;
+	\item $X$的问题比$Y$更“难”。
+\end{itemize}
+
+	\subsection{规约问题的举例——染色问题（Graph Coloring）}
+
+\begin{itemize}
+\item $P_1$ (decision version):可用$K$种颜色完成染色
+\item $P_2$ (optimal version):最少用$K$种颜色完成染色
+\end{itemize}
+
+以下有两种情况:
+
+
+	\begin{enumerate}
+	\item $P_1\leq_pP_2$
+	
+将$K$值依次从2依次递增，直到$P_1$判定第一个满足的数记为$K_0$，则$K_0$为$P_2$的解，即满足$P_1$的最小的$K$(也就是$K_0$)为$P_2$的解。
+
+过程见\autoref{fig:P1-leq-P2}：
+
+
+	\begin{figure}[ht]
+		\begin{minipage}[t]{1\linewidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=15cm,height=7.5cm]{image/P_NP2.png}
+			\caption{$P_1\leq_pP_2$时过程图}\label{fig:P1-leq-P2}
+		\end{minipage}
+	\end{figure}
+
+
+	\item  $P_2\leq_pP_1$
+	
+	直接利用$P_2$解出$K_0$，判断$K$与$K_0$的关系，若$K\geq K_0$则成立,即可以使用$K_0$种颜色完成染色。
+	
+过程见\autoref{fig:P2-leq-P1}：
+	\end{enumerate}
+	
+
+		\begin{figure}[ht]
+		\begin{minipage}[t]{1\linewidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=15cm,height=7.5cm]{image/P_NP3.png}
+			\caption{$P_2\leq_pP_1$时过程图}\label{fig:P2-leq-P1}
+		\end{minipage}
+	\end{figure}
+	
+\newpage
+	\section{NPC问题}
+	\subsection{NPC概述}
+
+\paragraph*{$NPC$问题的证明思路}
+
+	
+要证明一个问题是$NPC$问题，先证明它是一个$NP$问题，然后再证明一个已知的$NPC$问题能在多项式时间归约到它。
+
+\paragraph*{$NPC$问题与$NP$问题之间的关系}
+
+
+$NPC$问题是比普通的$NP$问题更复杂一点的问题，如果找到一个$NPC$的多项式复杂度算法，也就能够通过降阶的方式将这个算法改造成解决任意一个确定的$NP$问题的多项式复杂度算法。意味着存在一个通用的万能算法，能够解决所有$NP$问题，这样只要找到一个$NPC$的多项式算法也就证明了$P=NP$。
+	
+\paragraph*{$NPC$问题举例}
+	\subparagraph*{}
+	
+	\begin{table}[ht]
+		\centering
+		\caption{NPC问题举例}
+		\begin{tabular}{p{100pt}p{200pt}}
+			\toprule[0.5mm]
+			问题 & 描述\\
+			\midrule[0.4mm]
+			布尔可满足性问题&给定一个布尔方程，判断是否存在一组布尔变量的真值指派使整个方程为真的问题\\ \\
+			最小顶点覆盖问题&给定图$G=(V,E)$和数$k$，判定是否存在包含大小至多为$k$的顶点覆盖。\\ \\
+			集合覆盖问题&给定全集$U$，以及一个包含$n$个集合且这$n$集合的并集为全集的集合$S$。集合覆盖问题要找到的一个最小的子集$S$，使得他们的并集等于全集\\ \\
+			哈密尔顿回路&给定图$G$，判定其是否经过图中每个顶点且仅一次的回路。\\
+			\bottomrule
+		\end{tabular}
+	\end{table}
+\section{关于P与NP的讨论 (P=NP?)}
+
+\begin{itemize}
+	\item$P\subseteq NP$
+
+如果一个问题能够在多项式时间求解，那么这个问题则一定可以在多项式时间内被验证
+
+	\item $P$是否能够等于$NP$，即等价于一个问题的结果如果能够用多项式复杂度的算法来验证，那么是否存在多项式算法来得出这个结果。现在没人能够证明这一点。
+	\item 证明的关键点在于能否找到一个$NPC$的多项式算法。但$NPC$问题目前没有多项式算法，只能用穷举法逐个检验得到答案。所以现在科学家们普遍认为$P\neq NP$
+	\item 假设证明了$P= NP$，目前的加密技术就会没有前途，因为目前的加密技术是将一个整数分解为几个因数的乘积，正是因数分解过程烦琐，才保证了信息的安全。
+\end{itemize}
+	
+以下列出了$P= NP$与$P\neq NP$两种情况的情况见\autoref{fig:P-eq-NP}和\autoref{fig:P-neq-NP}：
+	
+	\begin{figure}[!htbp]
+		\begin{minipage}[t]{1\linewidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=4cm,height=6cm]{image/P_NP4.png}
+			\caption{$P= NP$时关系图图}\label{fig:P-eq-NP}
+		\end{minipage}
+	\end{figure}
+
+		\begin{figure}[!htbp]
+		\begin{minipage}[t]{1\linewidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=4cm,height=6cm]{image/P_NP5.png}
+			\caption{$P\neq NP$时关系图} \label{fig:P-neq-NP}
+		\end{minipage}
+	\end{figure}
+