fix 4.1

Author: 이하람

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@@ -40,14 +40,17 @@ long contents .....
 
 결합 엔트로피 H(X1,X2)는 두 확률 변수 X1,X2​가 동시에 가질 정보량의 기대값이다.
 
+
 $$
 H(X_1, X_2) = \mathbb{E} \left[ \log \frac{1}{p_{X_1,X_2}(X_1,X_2)} \right] = \sum_{x_1,x_2} p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) \log \frac{1}{p_{X_1,X_2}(x_1,x_2)}
 $$
+
 Thm. 30(Property of Entropy)
 
 만약 $X_1$과 $X_2$가 독립이면 $H(X_1, X_2) = H(X_1) + H(X_2)$ 이다.
 
 *Proof.*
+
 $$
 \begin{aligned}
 H(X_1,X_2) &= \sum_{x_1,x_2} p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) \log \frac{1}{p_{X_1}(x_1)p_{X_2}(x_2)} \\
@@ -57,6 +60,7 @@ H(X_1,X_2) &= \sum_{x_1,x_2} p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) \log \frac{1}{p_{X_1}(x_1)p_{X
 \end{aligned}
 $$
 
+
 $\therefore$ 두 변수가 독립인 경우 두 변수에서 얻는 정보량은 각 변수에서 얻는 정보량의 합으로 계산
 
 만약 X1​과 X2가 강하게 상관되어 있다면, (X1,X2)로부터 얻는 정보량은 X1​으로부터 얻는 정보량과 거의 비슷할 것이다.
@@ -67,14 +71,15 @@ $\therefore$ 두 변수가 독립인 경우 두 변수에서 얻는 정보량은
 > 만약 $H(X_1, X_2) = H(X_1) + H(X_2)$이면, 이것이 독립을 의미하는가?
 
 **Exercise 33**
-* Alice가 $X$를 균등분포로 $\{1, 2, \dots, 8\}$ 중에서 뽑는다.
+Alice가 $X$를 균등분포로 $\{1, 2, \dots, 8\}$ 중에서 뽑는다.
+Bob이 세 가지 Yes or No 질문을 한다.
+1) $X \in \{5, 6, 7, 8\}$ 인가?
+2) $X \in \{1, 2, 5, 6\}$ 인가?
+3) $X \in \{1, 3, 5, 7\}$ 인가?
 
-- Bob이 세 가지 Yes or No 질문을 한다.
-		i. $X \in \{5, 6, 7, 8\}$ 인가?
-		ii. $X \in \{1, 2, 5, 6\}$ 인가?
-		iii. $X \in \{1, 3, 5, 7\}$ 인가?
  $$ Y_i = \begin{cases} 1 & \text{예} \\ 0 & \text{아니오} \end{cases} $$
 
+
 각 $Y_i$는 베르누이 확률 변수이고, 서로 독립이다.
 
 $$