Add detailed explanations and mathematical formulations for 1st Order Markov Processes in the Information Theory chapter, enhancing clarity and understanding of transition probabilities and state distributions.

Author: jungin7612

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 ### 2.5.2 1st Order Markov Process
 
+> **1차 마르코프 과정이란?**
+> 확률 과정 $X$ = $\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$이 있다고 할 때,
+> $P(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2}, \dots, X_1) = P(X_i \mid X_{i-1})$를 만족하는 과정을 1차 마르코프 과정이라고 한다.
+
+$\therefore$ 현재 상태 $X_i$는 직전 상태 $X_{i-1}$에만 의존하고, 그 이전 상태들과는 무관하다.
+
+> 모든 가능한 sequence tuple들의 결합 확률 분포를 $P_{X^n}(x^n) = P_{X_1, \cdots, X_n}(x_1, \dots, x_n)$라고 할 때, 1차 마르코프 과정은 다음을 만족한다.
+>
+> $>P_{X^n}(x^n) = \prod_{i=1}^n P_{X_i \mid X_{i-1}}(x_i \mid x_{i-1})$
+
+$$
+P(X_1, X_2, \dots, X_n) = P(X_1) \times P(X_2 \mid X_1) \times \cdots \times P(X_n \mid X_{n-1})
+$$
+
+1차 마르코프 과정이므로,
+
+$$
+P(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2}, \dots, X_1) = P(X_i \mid X_{i-1})
+$$
+
+위 식을 바꾸어 쓰면,
+
+$$
+P(X_1, X_2, \dots, X_n) = P(X_1) \prod_{i=2}^n P(X_i \mid X_{i-1})
+$$
+
+상태 공간이 $\{1, \dots, n\}$이고 전이 확률이 동일하다고 가정하면, 전이 행렬 $P$를 정의할 수 있다.
+
+$$
+P_{u,v} = \Pr[X_i = u \mid X_{i-1} = v]
+$$
+
+그리고 $t$시점 상태 분포 벡터를
+
+$$
+\pi_t = \begin{bmatrix}
+\Pr[X_t = 1] \\
+\Pr[X_t = 2] \\
+\vdots \\
+\Pr[X_t = n]
+\end{bmatrix}
+$$
+
+라고 하면, 각 상태 u에 대해 다음 식이 성립한다.
+
+$$
+\Pr[X_t = u] = \sum_{v=1}^n \Pr[X_t = u \mid X_{t-1} = v] \Pr[X_{t-1} = v] = \sum_{v=1}^n P_{u,v} \pi_{t-1,v}
+$$
+
+이를 벡터 형태로 변환하면
+
+$$
+\pi_t = P \times \pi_{t-1}
+$$
+
+---
+
+> **Exercise 43.**
+> 이진확률과정 $X$를 고려해보자. 전이 확률이 다음과 같이 주어진다.
+
+$$
+P_{X_i \mid X_{i-1}}(0 \mid 1) = P_{X_i \mid X_{i-1}}(1 \mid 0) = \alpha < \frac{1}{2}
+$$
+
+$$
+P_{X_i \mid X_{i-1}}(1 \mid 0) = P_{X_i \mid X_{i-1}}(0 \mid 1) = 1 - \alpha
+$$
+
+이때, 전이 행렬 $P$는 다음과 같이 정의할 수 있다
+
+$$
+P = \begin{bmatrix}
+1 - \alpha & \alpha \\
+\alpha & 1 - \alpha
+\end{bmatrix} \quad (115)
+$$
+
+초기 상태 분포를 다음과 같이 정의하면,
+
+$$
+\pi_0 = [1, 0]
+$$
+
+다음 단계 상태 분포 $\pi_1$은 다음과 같다.
+
+$$
+\pi_1 = [1 - \alpha, \alpha]
+$$
+
 ### 2.5.3 kth Order Markov Process
 
 확률 과정 X에 대해,