[ISSUE-77] Add cross product (#101)

Author: jnonino

.config/cspell.yaml

@@ -49,6 +49,7 @@ dictionaries:
   - web-services
   - custom-dict-acronyms
   - custom-dict-names
+  - custom-dict-other
   - custom-dict-words-en
   - custom-dict-words-es
 
@@ -70,6 +71,8 @@ dictionaryDefinitions:
     path: "./custom-dict-acronyms.txt"
   - name: custom-dict-names
     path: "./custom-dict-names.txt"
+  - name: custom-dict-other
+    path: "./custom-dict-other.txt"
   - name: custom-dict-words-en
     path: "./custom-dict-words-en.txt"
   - name: custom-dict-words-es

.config/custom-dict-names.txt

@@ -1,85 +1,63 @@
-fibonacci
-Fibonacci
-jnonino
-Liskov
-
-
-
 Aguilar
 Alahyari
 AMACOM
 Apress
 Arie
 Artech
-
 Badgett
 Basili
 Beedle
 Bennekum
-bmatrix
 Boehm
 Boersma
 Booch
 Brookshear
-
 Chacon
 Charette
 Christel
 Codecademy
-codeimporter
 Coghlan
 Cormen
-
 Deitel
-
 Easterbrook
-elif
 Eloranta
 Erlikh
 ESEM
 Euromicro
-
 Fewster
+fibonacci
 franca
-
 Gagne
 Grenning
 Grinberg
-
 Hannes
 Hapke
 Harvill
 Hennessy
-hextra
 Highsmith
 Hiva
 Holmstrom
-
 Ifrah
 infty
 Itkonen
-
 Jalote
 Jaskiel
 jnonino
 Jouni
 Joyanes
 Juha
-
 Kaner
 Kazman
 Kerzner
 Kimmo
 Krivy
-
 Laplante
 Leanpub
 Leiserson
 Leppanen
 Lianping
 Liraz
 Liskov
-
 Maberly
 Makinen
 Mannisto
@@ -88,46 +66,35 @@ Marick
 Markku
 Markkula
 Marko
-mathbb
-mathbf
 Matthes
 Matyas
 Mika
 Mikolov
 Moroney
-
 Nonino
 Numpy
 Nuseibeh
 NXOR
-
 Oivo
 Olsson
 OOPSLA
 Oram
-
 Packt
 Pagels
 Parnas
 Pekka
 Pfleeger
 Pilar
-pmatrix
 Pulkkinen
-Pylint
-pytest
-
 Raoul
 Rashka
 Replit
 Rossum
 Rumbaugh
-
 Sams
 Schwaber
 SDLC
 Sebesta
-sectioncards
 Siewiorek
 Silberschatz
 Simo
@@ -136,20 +103,12 @@ Sommerville
 Stolt
 Straub
 Swarz
-
 Turula
-
 UMAP
-
 Veli
 Vlissides
-
 WESCON
 Wiegers
-wsgi
-
 XNOR
-
 Yourdon
-
 Zelkowitz

.config/custom-dict-other.txt

@@ -0,0 +1,12 @@
+bmatrix
+codeimporter
+elif
+hextra
+mathbb
+mathbf
+pmatrix
+pylint
+pytest
+sectioncards
+vmatrix
+wsgi

.config/custom-dict-words-en.txt

@@ -1,3 +1,4 @@
+anticommutativity
 explainability
 regulariser
 sidelining

.config/custom-dict-words-es.txt

@@ -1,8 +1,10 @@
+anticonmutatividad
 aprendé
 autocompletado
 bayesianos
 contrastivo
 convolucionales
+curvá
 dejá
 descripto
 dimensionalidad

content/ai/math/algebra/vectors/index.en.md

@@ -260,6 +260,51 @@ $$
 works precisely because of this geometry. Semantic relationships are encoded as *directions* in vector space, and finding `queen` means finding the vector whose cosine similarity to the query vector is maximized. Every modern embedding model (BERT, GPT, sentence-transformers) inherits this geometric philosophy. Next time you read something about word representation in vector spaces, remember they are talking about the same geometry we just derived.
 {{< /callout >}}
 
+### The cross product
+
+The dot product takes two vectors and returns a **scalar**. The **cross product** takes two vectors in \(\mathbb{R}^3\) and returns a **vector**, one that is perpendicular to both inputs. It is defined only in three (and seven) dimensions, which makes it more geometrically specialised than the dot product.
+
+Given \(\mathbf{u} = [u_1, u_2, u_3]^T\) and \(\mathbf{v} = [v_1, v_2, v_3]^T\), the cross product \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) is computed by expanding the following symbolic determinant:
+
+$$
+\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}
+$$
+
+Expanding along the first row:
+
+$$
+\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{e}_1(u_2 v_3 - u_3 v_2) - \mathbf{e}_2(u_1 v_3 - u_3 v_1) + \mathbf{e}_3(u_1 v_2 - u_2 v_1)
+$$
+
+$$
+\boxed{\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{bmatrix}}
+$$
+
+{{< callout type="info" >}}
+In plain English: each component of the result is a \(2 \times 2\) determinant built from the other two components of the inputs. The pattern is cyclic: \((2,3)\), \((3,1)\), \((1,2)\).
+{{< /callout >}}
+
+**Two geometric facts define the cross product completely**:
+
+**Direction:** \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) is always orthogonal to both \(\mathbf{u}\) and \(\mathbf{v}\). You can verify this directly: \((\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{u} = 0\) and \((\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} = 0\). The orientation follows the **right-hand rule**: curl the fingers of your right hand from \(\mathbf{u}\) toward \(\mathbf{v}\), and your thumb points in the direction of \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\).
+
+**Magnitude:** The length of the result equals the area of the parallelogram spanned by \(\mathbf{u}\) and \(\mathbf{v}\), which can be expressed as:
+
+$$\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\sin\theta$$
+
+
+{{< callout type="info" >}}
+When \(\mathbf{u}\) and \(\mathbf{v}\) are parallel (\(\theta = 0°\)), the parallelogram is flat and the cross product is the zero vector. When they are perpendicular (\(\theta = 90°\)), the parallelogram has maximum area and \(\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|\) is maximised. This is the exact opposite behaviour to the dot product, which is maximised when vectors are parallel and zero when perpendicular.
+{{< /callout >}}
+
+**Key algebraic property, anticommutativity**:
+
+$$
+\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})
+$$
+
+Swapping the order flips the sign and the direction. This means the cross product is **not commutative**, unlike the dot product.
+
 ## Python implementation
 
 Let's implement everything from scratch, first in pure Python, then verify with NumPy.

content/ai/math/algebra/vectors/index.es.md

@@ -259,6 +259,50 @@ $$
 funciona precisamente gracias a esta geometría. Las relaciones semánticas se codifican como *direcciones* en el espacio vectorial, y encontrar `reina` significa hallar el vector con mayor similitud coseno al vector de consulta. Todo modelo de embedding moderno (BERT, GPT, sentence-transformers) hereda esta filosofía geométrica. La siguiente vez que leas sobre ***"espacios de representación"*** en un paper de IA, recuerda: están hablando literalmente de la geometría que acabas de derivar.
 {{< /callout >}}
 
+### El producto vectorial (producto cruz)
+
+El producto punto toma dos vectores y devuelve un **escalar**. El **producto vectorial** toma dos vectores en \(\mathbb{R}^3\) y devuelve un **vector**, uno que es perpendicular a ambas entradas. Está definido únicamente en tres (y siete) dimensiones, lo que lo hace más especializado geométricamente que el producto punto.
+
+Dados \(\mathbf{u} = [u_1, u_2, u_3]^T\) y \(\mathbf{v} = [v_1, v_2, v_3]^T\), el producto vectorial \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) se calcula expandiendo el siguiente determinante simbólico:
+
+$$
+\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}
+$$
+
+Expandiendo por la primera fila:
+
+$$
+\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{e}_1(u_2 v_3 - u_3 v_2) - \mathbf{e}_2(u_1 v_3 - u_3 v_1) + \mathbf{e}_3(u_1 v_2 - u_2 v_1)
+$$
+
+$$
+\boxed{\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{bmatrix}}
+$$
+
+{{< callout type="info" >}}
+En términos sencillos: cada componente del resultado es un determinante \(2 \times 2\) construido a partir de las otras dos componentes de las entradas. El patrón es cíclico: \((2,3)\), \((3,1)\), \((1,2)\).
+{{< /callout >}}
+
+Dos propiedades geométricas definen el producto vectorial por completo:
+- **Dirección:** \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) es siempre ortogonal tanto a \(\mathbf{u}\) como a \(\mathbf{v}\). Podés verificarlo directamente: \((\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{u} = 0\) y \((\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} = 0\). La orientación sigue la **regla de la mano derecha**: curvá los dedos de tu mano derecha desde \(\mathbf{u}\) hacia \(\mathbf{v}\), y el pulgar apunta en la dirección de \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\).
+
+**Magnitud:** La longitud del resultado es igual al área del paralelogramo generado por \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\):
+$$
+\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\sin\theta
+$$
+
+{{< callout type="info" >}}
+Cuando \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) son paralelos (\(\theta = 0°\)), el paralelogramo es plano y el producto vectorial es el vector cero. Cuando son perpendiculares (\(\theta = 90°\)), el paralelogramo tiene área máxima y \(\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|\) se maximiza. Este comportamiento es exactamente opuesto al del producto punto, que se maximiza cuando los vectores son paralelos y vale cero cuando son perpendiculares.
+{{< /callout >}}
+
+**Propiedad algebraica clave, anticonmutatividad**:
+
+$$
+\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})
+$$
+
+Intercambiar el orden invierte el signo y la dirección. Esto significa que el producto vectorial **no es conmutativo**, a diferencia del producto punto.
+
 ## Implementación en Python
 
 Implementamos todo desde cero: primero en Python puro para ver la mecánica, luego verificamos con NumPy.