Resolução Numérica da Equação de Van der Waals

Trabalho prático da disciplina de Cálculo Numérico do curso de Engenharia de Computação - IFMG Campus Bambuí.

Sobre o Projeto

Este projeto tem como objetivo aplicar métodos numéricos para resolver problemas de engenharia que não possuem solução analítica trivial. O foco do estudo é a Equação de Estado de Van der Waals, utilizada para descrever o comportamento de gases reais sob altas pressões, onde a Lei dos Gases Ideais ($PV=nRT$) falha.

O trabalho consiste na implementação de algoritmos para encontrar o Volume Molar ($V$) do Dióxido de Carbono ($CO_2$) sob condições específicas de pressão e temperatura.

Autores

• Gabriel Henrique Silva Duque
• Rafael Gonçalves Oliveira

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O Problema Físico

A equação de Van der Waals é dada por:

$$\left( P + \frac{a}{V^2} \right) (V - b) = RT$$

Para aplicar os métodos numéricos (zero de função), a equação foi manipulada para a forma polinomial $f(V) = 0$:

$$f(V) = PV^3 - (Pb + RT)V^2 + aV - ab = 0$$

Parâmetros Utilizados (Gás: $CO_2$)

• Pressão ($P$): 50 atm
• Temperatura ($T$): 350 K
• Constante $a$: $3.592 , L^2 \cdot atm/mol^2$
• Constante $b$: $0.04267 , L/mol$
• Constante $R$: $0.082057 , L \cdot atm / (K \cdot mol)$

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Métodos Implementados

Foram implementados e comparados três métodos iterativos para encontrar a raiz da função:

1. Método da Bisseção: Método de quebra de intervalo (robustez garantida pelo Teorema de Bolzano).
2. Método de Newton-Raphson: Método de ponto aberto que utiliza a derivada $f'(V)$ para convergência quadrática.
3. Método da Secante: Similar ao Newton, mas aproxima a derivada usando a inclinação entre dois pontos anteriores.

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Resultados Obtidos

Os testes foram realizados considerando uma tolerância de erro de $1 \times 10^{-6}$.

Método	Volume Encontrado (L/mol)	Iterações
Newton-Raphson	0.480950	4
Secante	0.480950	16
Bisseção	0.480950	20

Conclusão: O volume molar calculado (~0.481 L/mol) é significativamente menor que o previsto pela Lei dos Gases Ideais (~0.574 L/mol), comprovando a necessidade da correção de Van der Waals. O método de Newton-Raphson mostrou-se o mais eficiente computacionalmente.

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Como Executar o Projeto

Para rodar este projeto localmente, siga as instruções abaixo no seu terminal:

1. Clonar o repositório

Faça o download do código fonte para sua máquina:

git clone https://github.com/SEU-USUARIO/NOME-DO-REPO.git
cd NOME-DO-REPO

2. Instalar as dependências

Certifique-se de ter as bibliotecas necessárias instaladas:

pip install numpy matplotlib jupyter

3. Iniciar o Jupyter Notebook

Execute o comando para abrir o ambiente de desenvolvimento no seu navegador:

jupyter notebook

4. Abrir o arquivo principal

No painel do Jupyter que abrirá no navegador, localize e clique no arquivo:

trabalho1_calc_num.ipynb

Em seguida, vá no menu Cell e selecione Run All para executar todos os blocos de código e visualizar os gráficos e resultados.

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Referências Bibliográficas

As seguintes fontes foram utilizadas para a elaboração do código, obtenção das constantes físicas e fundamentação teórica dos métodos numéricos:

1. CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos Numéricos para Engenharia. 7ª Edição. Editora AMGH, 2016.
2. NumPy Documentation. Biblioteca fundamental para computação científica em Python. Disponível em: https://numpy.org/.
3. Matplotlib Documentation. Biblioteca para criação de visualizações estáticas, animadas e interativas em Python. Disponível em: https://matplotlib.org/.
4. WebElements. Carbon dioxide: van der Waals constants. Disponível em: https://www.webelements.com/. (Fonte dos parâmetros $a$ e $b$ para o $CO_2$).

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