276. Paint Fence

arai60/paint-fence/README.md

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+## Step1
+- 以前はファイルを分けていたが、今回から全ての思考過程を一つのmdファイルにまとめてみる
+
+- 考えたこと
+    - 場合分けして、漸化式を立式
+    - あとはテーブルを作って bottom-up DP
+    - いつも書く書き方だと2行のテーブルを作るが、可読性を考えてそれぞれ名前を付けて工夫してみた
+        - 変数名は迷ったが、`num_ways_same` と `num_ways_diff` としてみた。`same` と `diff` だけでもいいかもしれない
+```python
+class Solution:
+    def numWays(self, n: int, k: int) -> int:
+        # when the (i-1)-th and i-th posts are same colors
+        num_ways_same = [0] * (n + 1)
+        # when the (i-1)-th and i-th posts are different colors
+        num_ways_diff = [0] * (n + 1)
+
+        # recurrence relation
+        # num_ways_same[i + 1] = num_ways_diff[i], num_ways_diff[i + 1] = (num_ways_same[i] + num_ways_diff[i]) * (k - 1)
+        # initial conditions
+        # num_ways_diff[1] = k, num_ways_same[1] = 0
+
+        num_ways_same[1] = 0
+        num_ways_diff[1] = k
+        for i in range(1, n):
+            num_ways_same[i + 1] = num_ways_diff[i]
+            num_ways_diff[i + 1] = (num_ways_same[i] + num_ways_diff[i]) * (k - 1)
+        return num_ways_same[-1] + num_ways_diff[-1]
+```
+
+- 考えたこと2
+    - 今回のarai60のDP演習では top-down DP も簡単に書けるように練習したい
+        - 以前、Pramp で模擬面接をしたときに bottom-up DP を書いたことがあるが説明に苦労した
+        - 可読性の観点では、top-down DP（メモ化再帰）の方に分があると思っている
+
+```python
+class Solution:
+    def numWays(self, n: int, k: int) -> int:
+        @cache
+        def num_ways_helper(n, k) -> tuple[int]:
+            if n == 1:
+                return 0, k
+            same, diff = num_ways_helper(n - 1, k)
+            new_same = diff
+            new_diff = (same + diff) * (k - 1)
+            return new_same, new_diff
+
+        return sum(num_ways_helper(n, k))
+```
+
+- 考えたこと3
+    - ここで今回の場合だと、n -> n + 1 の遷移しかないため、配列の使いまわしが出来ることに気づいた
+        - メモリ最適化までは面接で求められている気がするので、初手の段階でちゃんと書けるようにしておきたい
+    - 変数名を `same` と `diff` にしてシンプルにしてみた
+
+```python
+class Solution:
+    def numWays(self, n: int, k: int) -> int:
+        same = 0
+        diff = k
+        for _ in range(n - 1):
+            next_same = diff
+            next_diff = (same + diff) * (k - 1)
+            same = next_same
+            diff = next_diff
+        return same + diff
+```
+
+
+## Step2
+- 過去ログを参照
+    - https://github.com/TORUS0818/leetcode/pull/32
+    - https://github.com/Yoshiki-Iwasa/Arai60/pull/44
+        >あー、あと、この問題、行列の n 乗なので、そういう方法でも計算できるはずです。
+        - たしかに、行列のn乗として表現出来る
+        - 行列累乗は繰り返し二乗法で O(log n) で計算出来るので本質的な計算量削減につながりそう
+    - https://github.com/goto-untrapped/Arai60/pull/44
+        >前と違う色を塗り分ける時は、1個前までの組み合わせ数×(k-1)通りで、前と同じ色を塗る時は2個前までの組み合わせ数×(k-1)×1通り、の和
+        - 実は、fibonacci numbers pattern に落とし込める
+        - いきなり思いつくことは難しそうな印象を受けた
+
+        >フィボナッチ数列に関連して、 時間計算量 O(log n) の解法は思いつきますか？
+        - こちらも行列累乗の話かな
+        - 行列演算でもやってみる
+
+```python
+import numpy as np
+
+class Solution:
+    def numWays(self, n: int, k: int) -> int:
+        A = np.array([[0, 1], [k - 1, k - 1]])
+        v = np.array([0, k])
+        return np.sum(np.linalg.matrix_power(A, n - 1) @ v)
+```
+
+![](images/image.png)
+
+- 行列累乗はnumpyで
+    - matrix_power
+        - https://numpy.org/doc/2.0/reference/generated/numpy.linalg.matrix_power.html
+- 計算量的には O(n) -> O(log n) と落ちるはずだがleetcode上ではむしろ遅くなった
+    - n <= 50 と小さいからかな
+
+## Step3
+- メモリ最適化した bottom-up DP で
+```python
+class Solution:
+    def numWays(self, n: int, k: int) -> int:
+        same = 0
+        diff = k
+        for _ in range(n - 1):
+            next_same = diff
+            next_diff = (k - 1) * (same + diff)
+            same = next_same
+            diff = next_diff
+        return same + diff
+```
+